Resúmenes

Daniel J. Hernández (University of Kansas)

"Métodos en característica prima"
Resumen:
Este curso se enfocará en la teoría de singularidades de hipersuperficies algebraicas. Nuestro primero objetivo es brevemente revisar varios aspectos de esta teoría cuando el campo ambiente el los números complejos, enfatizando el roe de la integración, la resolución de singularidades, y los operadores diferenciales. Nuestro segundo, y mas significativo, objetivo se enfocará en el uso del morfismo de Frobenius (o el morfismo de p-potencias) para medir singularidades en característica prima. Aunque estos métodos son fundamentalmente distintos, sus fines están relacionados por el fenómeno, magnífico y sorprendente, que llamaré el "Milagro de Frobenius."

Daniel Labardini Fragoso (Instituto de Matemáticas - UNAM)
"Introducción a las álgebras de conglomerado"
Resumen:
Las álgebras de conglomerado ("cluster algebras") fueron descubiertas hace un poco más de 15 años por Sergey Fomin y Andrei Zelevinsky; los trabajos de muchos autores han mostrado que están presentes en muchas áreas de las matemáticas e incluso en física teórica. Un álgebra de conglomerado es un tipo de anillo conmutativo cuyos generadores son producidos recursivamente mediante una operación combinatoria llamada mutación y están organizados en conjuntos llamados conglomerados. En esta plática daré las definiciones básicas para producir un álgebra de conglomerado, presentaré algunos resultados de Fomin-Zelevinsky, y esbozaré la relación que guardan las álgebras de conglomerado con la teoría de representaciones de álgebras. Si el tiempo lo permite, mencionaré cómo esta relación permitió que Giovanni Cerulli Irelli, Bernhard Keller, Pierre-Guy Plamondon y yo probáramos la independencia lineal de los monomios de conglomerado, conjeturada en 2006 por Fomin y Zelevinsky.

Abraham Martín del Campo Sánchez (Conacyt - CIMAT)
"Polinomios ralos y el teorema mágico de Kushnirenko"
Resumen:
Los sistemas de polinomios aparecen en varias aplicaciones, por ejemplo, en estadística, en biología, etc. En particular, uno está interesado en calcular el número de soluciones de dicho sistema. Si el sistema es lo suficientemente general, el número de soluciones es precisamente el producto de los grados de los polinomios (de acuerdo al teorema de Bézout). Sin embargo, es muy común que, dada la estructura del problema del que provienen, los polinomios que aparecen en el sistema, están provistos de cierta estructura, y no sean generales, por lo que su número de soluciones es menor.

Un ejemplo en el que esto pasa es en los sistemas de polinomios ralos. Decimos que un sistema de n polinomios en n variables es ralo, si sabemos a priori cuáles son los monomios que aparecen en cada polinomio. En este curso, estudiaremos el conjunto de soluciones de sistemas ralos, utilizando como herramientas la combinatoria y la geometría, para predecir y entender el número de soluciones del sistema.

Luis Núñez Betancourt (CIMAT)
"Potencias simbólicas y operadores diferenciales"
Resumen:
En este curso introduciremos y discutiremos la descomposición primaria de las potencias de un ideal primo. En particular, nos enfocaremos en las llamadas potencias simbólicas y sus relaciones con singularidades. Adicionalmente, caracterizaremos estos ideales mediante el uso de operadores diferenciales. Finalmente discutiremos nuevos resultados y problemas abiertos en este tema.

Yuriko Pitones Amaro (CINVESTAV)
"Bases de Gröbner, una aplicación al estudio de códigos evaluación"
Resumen:
En esta plática mostraremos una introducción a la teoría de bases de Gröbner, la cual es una herramienta que permite realizar diversos cálculos principalmente computacionales de diferentes tópicos dentro del álgebra conmutativa. Nuestro objetivo es mostrar cómo combinar la teoría de bases de Gröbner con herramientas algebraicas para obtener resultados en teoría de códigos, principalmente en el problema de determinar los parámetros básicos de ciertos códigos evaluación. Algunos autores como O. Geil y C. Carvalho han trabajado con este enfoque en el caso afín, nosotros estudiaremos el caso proyectivo.

Nadia Romero Romero (Universidad de Guanajuato)
"Funtores en categorías de grupos"
Resumen:
Comenzaremos con un repaso de los elementos básicos de la teoría de categorías. Después veremos como cambiar las morfismos en algunas categorías conocidas, nos puede llevar a descubrir categorías útiles e interesantes, como la categoría de biconjuntos. Finalmente, veremos como el estudio de la categoría de funtores en biconjuntos ha ayudado a resolver preguntas importantes en la teoría de grupos.

Emily E. Witt (University of Kansas)
"Los módulos de cohomología local"
Resumen:
Los módulos de cohomología local son objetos útiles en álgebra conmutativa porque determinan varias propiedades de anillos, ideales y módulos. Sin embargo, a veces pueden difíciles de entender. Por ejemplo, en algunos casos, decidir si un módulo de cohomología local es el módulo cero puede ser difícil. Presentaremos estos módulos y estudiamos sus propiedades, incluidas algunas conexiones sorprendentes con áreas de matemáticas fuera de álgebra conmutativa.